gyökök, tehát az egész együtthatós polinom összes lehetséges gyökének halmaza véges halmazok megszámlálható uniója, ennélfogva legfeljebb megszámlálható. Nyilvánvaló, hogy a halmaz nem véges, ezért minden algebrai szám megszámlálható.
Végtelenek az algebrai számok?
Például az összes algebrai szám mezője a racionális számok végtelen algebrai kiterjesztése … Q[π] és Q[e] mező, de π és e transzcendentális Q felett. Egy algebrailag zárt F mezőnek nincsenek megfelelő algebrai kiterjesztései, vagyis nincsenek E algebrai kiterjesztései F < E-vel.
Megszámolhatók az algebrai számok?
Minden egész szám és racionális szám algebrai, csakúgy, mint az egész számok gyöke.… A komplex számok halmaza megszámlálhatatlan, de az algebrai számok halmaza megszámlálható, és a Lebesgue-mértékben a nulla mértéke a komplex számok részhalmaza. Ebben az értelemben szinte minden komplex szám transzcendentális.
Mi tekinthető megszámlálhatóan végtelennek?
Egy halmaz megszámlálhatóan végtelen ha elemei egy az egyhez megfeleltethetők a természetes számok halmazával Más szóval, az összes elemet meg lehet számolni a halmazt úgy, hogy bár a számlálás örökké tart, véges időn belül bármelyik elemhez eljutsz.
Minden algebrai szám megszerkeszthető?
Nem minden algebrai szám konstruálható Például egy egyszerű, harmadfokú, x³ - 2=0 polinomegyenlet gyökei nem szerkeszthetők. (Gauss bebizonyította, hogy ahhoz, hogy egy algebrai szám konstruálható legyen, egy olyan fokú egész polinom gyökének kell lennie, amelynek hatványa 2 és nem kisebb.)
