Informálisan egy csoport ciklikus , ha egyetlen elem generálja. Abel-féle, ha a szorzás ingázik. Egy csoport ciklikus, ha egyetlen elemmel generálható.
Ciklikus egy Abel-csoport?
Minden ciklikus csoport Abeli, de egy Abel-csoport nem feltétlenül ciklikus. Az Abel-csoport minden alcsoportja normális. Egy Abeli-csoportban minden elem önmagában egy konjugálati osztályba tartozik, és a karaktertáblázat egyetlen elem hatványait tartalmazza, amelyeket csoportgenerátorként ismerünk.
Hogyan bizonyítja be, hogy egy Abel-csoport ciklikus?
Bizonyítás
- Legyen G ciklikus csoport g∈G generátorral. Nevezetesen G=⟨g⟩ (G minden eleme g valamilyen hatványa.)
- Legyenek a és b tetszőleges elemek G-ben. Ekkor létezik n, m∈Z úgy, hogy a=gn és b=gm.
- Így kapunk ab=ba tetszőleges a, b∈G-re. Így G egy Abel-csoport.
Honnan lehet tudni, hogy egy csoport ciklikus?
4 Válaszok. Egy véges csoport akkor ciklikus, és csak akkor, ha pontosan egy részcsoportja van a sorrendjének minden osztójából. Tehát ha két azonos sorrendű alcsoportot talál, akkor a csoport nem ciklikus, és ez néha segíthet.
Mi az a ciklikus csoportos magyarázat egy példával?
Például (Z/6Z)×={1, 5} , és mivel a 6 kétszerese páratlan prímszám ciklikus csoport. … Ha (Z/nZ)× ciklikus, generátorait modulo n primitív gyököknek nevezzük. p prímszám esetén a (Z/pZ)× csoport mindig ciklikus, és a p rendű véges mező nullától eltérő elemeiből áll.
