1. tétel Minden valós számok cauchy sorozata egy határértékhez konvergál.
Hogyan találja meg a Cauchy-sorozat határát?
Bizonyítás: egy Cauchy-sorozat határa an=limn→∞an.
Minden Cauchy-szekvencia konvergál?
Minden valódi Cauchy sorozat konvergens. Tétel.
Minden konvergens sorozatnak van határa?
Ezért minden konvergens sorozatra a határ egyedi. Jelölés Tegyük fel, hogy {an}n∈N konvergens. Ekkor a 3.1. Tétel szerint a határ egyedi, és így például l-ként írhatjuk fel.
Konvergálhat egy sorozat két különböző határértékhez?
ez azt jelenti, hogy L1 − L2=0 ⇒ L1=L2, és ezért a sorozatnak nem lehet két különböző határértéke. Ennél a ϵ-nél, mivel egy L1-hez konvergál, azt kaptuk, hogy létezik egy N1 index, így |an −L1| N1. Ugyanakkor egy L2-hez konvergál, így van egy N2 index, így |an −L2| N2.
