Ha A egy m × n mátrix, akkor az ATA-nak és az AAT-nak ugyanazok a nem nulla sajátértékei … Ezért Ax az AAT sajátvektora, amely megfelel a λ sajátértéknek. Egy analóg érv használható annak bizonyítására, hogy az AAT minden nullától eltérő sajátértéke az ATA sajátértéke, így teljes a bizonyítás.
Az AAT és az ATA sajátértékei megegyeznek?
Az AAT és ATA mátrixoknak ugyanazok a nullától eltérő sajátértékei. A 6.5. szakasz megmutatta, hogy ezeknek a szimmetrikus mátrixoknak a sajátvektorai ortogonálisak.
Az ATA ugyanaz, mint az AAT?
Mivel az AAT és az ATA valós szimmetrikusak, ortogonális mátrixokkal átlósíthatók. Az előző állításból (mivel a geometriai és algebrai multiplicitások egybeesnek) az következik, hogy az AAT és az ATA ugyanazokkal a sajátértékekkel rendelkezik.
Az ATA-nak vannak külön sajátértékei?
Igaz. Például, ha A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , akkor a det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 karakterisztikus egyenletnek nincs ismétlődő gyöke. Ezért A minden sajátértéke különbözik és A diagonalizálható. 3.35 Bármely valós A mátrix esetén AtA mindig átlósítható.
Lehet a különböző sajátvektoroknak ugyanaz a sajátértéke?
Két különálló sajátvektor, amelyek ugyanazon Sajátértéknek felelnek meg, mindig lineárisan függenek. Két, ugyanazon sajátértéknek megfelelő sajátvektor mindig lineárisan függ.
